律制初步

律制基础

听觉位列五感之一，音乐可以说是人类与生俱来的才能和需要。而音乐作品的创作、乐器的设计和制造，都需要选出特定的几个音作为标准和素材，律制就是为解决这一问题而已产生的。

在很早以前人们就发现，人耳对于音高的比值较为敏感，而对绝对音高则并不敏感。在人类通过研究物理发现“频率”以前，律制通常是借由物体的长度、容积等物理量进行对比的，而现代则多采用频率比。

比值进行比较和运算十分麻烦，需要进行乘除法甚至乘法、开方运算。而当数学发展到对数产生时，律制的计算获得了大幅度的简化。将比值取同一个数为底的对数（例如常用对数），乘除法可简化为加减法，乘方开方运算可简化为乘除法。（对数运算法则可见维基百科）

由于对数通常为小数，纪录和书写不便，人们又通过其他手段发展出其他单位来表示音高的比值。最常用的一种叫做音分，将八度音程划分为1200音分。求某个比值相当于多少音分，可比值取常用对数，乘以1200再除以2的常用对数。很明显，“音分”这种单位可以说是专为十二平均律量身定做的。

十二平均律

十二平均律对近代西方音乐起到了非常重要的影响，也是现代音乐使用最为频繁的一种律制。不过十二平均律的发明者却是一个中国人，即明朝郑王世子朱载堉（1536－1611）。他在其著作《律吕精义》中明确记载了十二平均律的计算方法：先对八度音程的比值2开平方得二分一八度音程的比值1.414213562373095048801689，再对结果开平方得四分之一八度音程的比值1.1892071150027210667175，最后对结果开立方得十二分之一八度音程的比值1.059463094359295264561825。已知一个音的频率，求上下一个音的频率，只需要将频率乘或除以十二分之一八度音程的比值即可。以数学的观点来看，朱载堉即是将2开12次方作为公比，将一个八度音程平均分成了12份构成一个等比数列。

现代音乐以十二平均律作为理论基础，将一个八度音程划分为12个半音，2个半音即为一个全音。再将八度音程分为7个音级，每两个音级之间的音程关系为全、全、半、全、全、全、半，这样就构成了现代音乐中所使用的七声音阶。

下表以a1=440Hz为标准，列出了小字一组，小字组和大字组各音的频率：

Hz	C	D	E	F	G	A	B
C	65.41	73.42	82.41	87.31	98	110	123.47
c	130.81	146.83	164.81	174.61	196	220	246.94
c1	261.63	293.66	329.63	349.23	392	440	493.88

三分损益律

三分损益律是中国古代的一种律制，最早的记载见于《管子·地员篇》。其也可以说是中国古乐的主宰，即使在十二平均律被发明之后也依然如此。

《管子》中记载了三分损益律的详细生律方法：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之一为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复于其所，以是成羽。有三分而去其乘，适足以生角。”

这段话的大意是说：宫弦长81寸，三分益一就是乘三分之四，得徵弦长108寸。徵弦三分损一就是乘三分之二，得商弦72寸。商弦再三分益一，得羽弦96寸。羽弦再三分损一得角弦，64寸。

由于弦长与频率成反比，若求两弦的频率比，可通过求弦长倒数之比获得，而通过频率比即可算出音分值，列表如下：

	徵	羽	宫	商	角
弦长	108	96	81	72	64
音分	/	204	204	294	204

由上表可以看出，如徵相当于十二平均律中的C，则徵、羽、宫、商、角约相当于C、D、E、A、B。若以《管子》中的记载为准，“宫”作为音阶中的一个音级使用时，其位置应该是在五音的中央。后世宫、商、角、徵、羽的排列顺序，应该经过了一些变化。

与《管子》年代相近，《吕氏春秋·季夏纪第六·音律》记载了利用三分损益产生十二律的方法：“黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生。三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”

以黄钟为首，应钟为尾，首尾相连就可以看出，原音律与相生的音律，起止相隔八个音律，所以三分损益生十二律又有“隔八相生”的名称。

纯律

各种乐器发出的声音都不是一个单音，而是一个复合音。除了一个音量最大最容易被注意到的基音之外，还有一系列的泛音。而乐器的音色，就跟泛音的多寡和相对强度有非常重要的关系。以琴弦为例，整根弦整体振动所发出的就是基音。而琴弦的1/2、1/3，也作为一个相对独立的发音体在振动发声，这就产生了泛音。

泛音在物理上叫分音，电磁学中叫谐波。根据现代科学的研究发现，泛音的频率符合一个简单的数学关系，即均为基音频率的整数倍。仍以琴弦为例，弦的振动频率公式为：f=(1/2L)*sqrt(T/m)。其中L为弦长，T为张力，m为弦的质量，sqrt表示求括号内表达式的正平方根。只要弦一定，T和m就一定，我们设某根弦具有如下性质：n=(2/L)*sqrt(T/m)，代入公式可得该弦的频率f=1/n。由于频率与弦长成反比，1/2弦的频率即为2/n，1/3弦的频率即为3/n，以此类推。很容易即可发现，琴弦的基音和泛音频率能构成一个等差数列，公差为1/n。

文字不好理解，可试列一张表格。假设有一根弦的振动频率为65.41Hz，即a1=440Hz，按十二平均率算得的大字组C。第一行为基音和泛音的频率；第二行为该频率最接近于十二平均律的一个音名；第三行为该音相对左边一个音的音分值。得表如下：

	基音	泛音1	泛音2	泛音3	泛音4	泛音5	泛音6
频率	65.41	130.81	196.22	261.63	327.03	392.43	457.84
音名	C	c	g	c1	e1	g1	a1
音分	/	1200	702	498	386	316	267

很容易即可发现，基音与泛音1的音程关系是一个完整的八度，而泛音之间也形成了近似于十二平均律的纯五度、大三度等音程关系。这些音程关系都是自然存在的，说是“纯正谐和”的“自然音程”，应该有一定的道理。纯律即是使用这样的简单整数比生律的一种律制。

当音程以比率关系表示时，音程相加则是比值相乘，音程相减则是比值相除。例如大2=纯5减纯4=(3/2)/(4/3)=9/8，依次类推还可以算出大6=纯8减小3=5/3，大7=纯5加大3=15/8。以c1=261.63Hz，我们就可以算出以下表格：

音名	频率比	频率	音分
c1	1	261.63	/
d1	9/8	294.33	204
e1	5/4	327.03	182
f1	4/3	348.83	112
g1	3/2	392.44	204
a1	5/3	436.04	182
b1	15/8	490.55	204

由上表可以看出，纯律中的大二度有204音分和183音分两种。前一种即上文提到的纯5减纯4而得到的9/8，而后一种为纯4减小3而得到的10/9。

附表

三种律制的音程关系比较：

三分损益律
音名	黄钟	大吕	太蔟	夹钟	姑洗	仲吕	蕤宾	林钟	夷则	南吕	无射	应钟
音程	0	114	90	114	90	114	90	90	114	90	114	90
音名	宫		商		角			徵		羽
音程	0		204		204			294		204
十二平均律
音名	C		D		E	F		G		A		B
音程	0		200		200	100		200		200		200
纯律
音名	C		D		E	F		G		A		B
音程	0		204		182	112		204		182		204